Arquimedes de Siracusa

Nascimento: 287 AC em Siracusa, Sicília
Morte: 212 AC em Siracusa, Sicília

Arquimedes, filho do astrônomo Fídeas, era nativo de Siracusa, na Sicília. Há relatos de sua visita ao Egito, onde inventou um sistema de bombeamento chamado Parafuso de Arquimedes, em uso ainda hoje.
Há indícios muito fortes de que em sua juventude, Arquimedes tenha estudado com os sucessores de Euclides, em Alexandria. Com certeza ele era completamente familiarizado com a Matemática lá desenvolvida, conhecendo pessoalmente os matemáticos daquela região. Ele mesmo mandava alguns de seus resultados para Alexandria com mensagens pessoais.
No prefácio de Sobre espirais Arquimedes nos conta uma história curiosa acerca de seus amigos em Alexandria. Ele tinha o hábito de mandar o texto de seus últimos teoremas, mas sem as demonstrações. Aparentemente alguém em Alexandria estava roubando os resultados de Arquimedes e afirmando que eram seus. Na última vez que fez isso, enviou dois resultados falsos...
De fato, existem inúmeras referências a Arquimedes nos escritos de sua época, dada a reputação quase sem par que ele ganhou neste período. Curiosamente a razão para isso não era um interesse generalizado em Matemática, mas sim nas máquinas que inventou para serem usadas na guerra. Estas armas foram particularmente eficientes na defesa de Siracusa contra os Romanos, liderados por Marcelo.

Escreve Plutarco

Outras invenções de Arquimedes, como a polia composta, também colaboraram para que sua fama se perpetuasse.
Novamente citando Plutarco:

[Arquimedes] afirmou [em uma carta ao Rei Hierão] que, dada uma força, qualquer peso poderia ser movido, e até mesmo se gabando, disse que se houvesse outra Terra, esta poderia ser movida. Hierão maravilhou-se com isto e pediu uma demonstração prática. Arquimedes tomou um dos navios da frota do rei - que não podia ser movido a não ser por muitos homens - carregou-o com muitos passageiros e lotou-o de carga. Arquimedes colocou-se a distância e puxou as polias, movendo o navio em linha reta suavemente, como se estivesse no mar.

Mesmo tendo Arquimedes obtido fama por suas invenções mecânicas, ele acreditava que a Matemática em sua forma mais pura era a única coisa que valia a pena.
As conquistas de Arquimedes são de tirar o fôlego. Ele é considerado por muitos historiadores como um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Ele chegou a aperfeiçoar um método de integração que permitia calcular áreas, volumes e áreas de superfícies de muitos corpos.
Arquimedes foi capaz de aplicar o método da exaustão, que é uma forma primitiva de integração, para obter uma vasta gama de resultados importantes, alguns dos quais chegaram até os dias de hoje:

O tratado Sobre equilíbrios planos aborda os princípios fundamentais da mecânica, usando métodos geométricos. Arquimedes descobriu teoremas fundamentais a respeito do centro de gravidade de figuras planas, todos constantes deste trabalho. Em particular ele encontra, no livro 1, o centro de gravidade do paralelogramo, do triângulo e do trapézio.
O livro 2 é inteiramente devotado a encontrar o centro de gravidade de um segmento de parábola. Na Quadratura da parábola Arquimedes encontra a área de um segmento de parábola formado pelo corte de uma corda qualquer.
No primeiro volume de Sobre a esfera e o cilindro Arquimedes mostra que a superfície de uma esfera é quatro vezes a do grande círculo, acha a área de qualquer segmento da esfera, mostra que o volume de uma esfera é dois terços do volume do cilindro circunscrito, e que a superfície da esfera é dois terços da superfície do cilindro circunscrito, incluindo-se as bases.
Em Sobre espirais Arquimedes define uma espiral e estabelece as propriedades fundamentais relacionando o comprimento do vetor raio com os ângulos de revolução que geram as espirais. Ele também apresenta resultados sobre tangentes às espirais, bem como demonstra como calcular áreas de partes da espiral.
Em Sobre conóides e esferóides Arquimedes examina os parabolóides de revolução, hiperbolóides de revolução e esferóides obtidos pela rotação de uma elipse em torno de um de seus eixos.
Sobre corpos flutuantes é o trabalho onde Arquimedes estabelece os princípios básicos da Hidrostática. Seu teorema mais famoso - que dá o peso de um corpo imerso em um líquido - chamado Princípio de Arquimedes, consta deste trabalho.
Em Medidas do círculo Arquimedes mostra que o valor exato de situa-se entre 310/71 e 31/7. Ele obteve este resultado circunscrevendo e inscrevendo um círculo com polígonos regulares com 96 lados!
O Contador de areia é um trabalho memorável em que Arquimedes propõe um sistema numérico capaz de expressar números até 8x1016 (em notação moderna). Seu argumento é de que este número seria suficiente para contar o número de grãos de areia do Universo. Bem, naturalmente Arquimedes enfrentou o problema anterior: o tamanho do Universo. Quando cita resultados acerca do tamanho do Universo, ele usa resultados de Euxodo, Fídias (seu pai) e Aristarco.

Há referências a outros trabalhos de Arquimedes, que estão hoje perdidos. Pappus refere-se a um trabalho de Arquimedes sobre poliedros semi-regulares e o próprio Arquimedes refere-se a um trabalho sobre o sistema numérico proposto no Contador de areia. Pappus também menciona um tratado sobre balanças e alavancas, e Theon menciona um tratado sobre espelhos.
Arquimedes foi morto em 212 AC durante a captura de Siracusa pelos Romanos na segunda guerra Púnica, depois que todos seus esforços para manter os romanos na baía com suas máquinas de guerra falharam.
Fonte: www.ime.unicamp.br

Arquimedes

Um dos maiores matemáticos do século III a.C., natural da cidade de Siracusa, localizada na ilha da Sicília. Nasceu aproximadamente no ano 287 a.C. e morreu durante a Segunda Guerra Púnica em Siracusa em 212 a.C.. Era filho de um astrônomo e também adquiriu uma reputação em astronomia.
Arquimedes pode ter estudado por algum tempo em Alexandria com os alunos de Euclides, e manteve comunicação com os matemáticos de lá, como Cônon, Dosite e Eratóstenes.
Diz a lenda que Siracusa resistiu ao sítio de Roma por quase três anos, devido as engenhosas máquinas de guerra inventadas por Arquimedes para deixar seus inimigos à distância.
Entre elas: catapultas para lançar pedras; cordas, polias e ganchos para levantar e espatifar os navios romanos; invenções para queimar os navios.
Os trabalhos de Arquimedes exibem grande originalidade, habilidade computacional e rigor nas demonstrações. Há cerca de dez tratados que foram preservados até hoje e há vestígio de outros.
Os tratados sobre geometria plana são: A medida de um Círculo onde Arquimedes inaugurou o método clássico para cálculo de ; A quadratura da parábola constituído de vinte e quatro proposições onde mostra que a área de um segmento parabólico é quatro terços da área do triângulo inscrito de mesma base e de vértice no ponto onde a tangente é paralela à base. Esta dedução envolve a soma de uma série geométrica convergente; Sobre as Espirais composto por vinte e oito proposições onde são dedicadas as propriedades da curva (conhecidas hoje como aspiral de Arquimedes) e cuja equação polar é , em particular, encontra-se a área compreendida pela curva e por dois raios vetores de maneira essencialmente igual ao que seria hoje um exercício de cálculo integral.
Através dos árabes sabemos que a fórmula usual para a área de um triângulo em termos de seus lados, conhecida como fórmula de Heron - onde s é o semiperímetro - era conhecida por Arquimedes vários séculos antes de Heron ter nascido. Papus menciona em seus trabalhos o tratado de Arquimedes Sobre alavancas e Têon cita em seus trabalhos um teorema de Arquimedes encontrado no tratado Sobre a Teoria dos Espelhos.
Os tratados sobre geometria espacial são: Sobre a Esfera e o Cilindro escrito em dois volumes e constituído de cinqüenta e três proposições trata, entre outras coisas, do teorema que fornece as áreas de uma esfera e de uma calota esférica. Mostra que a área de uma superfície esférica é exatamente dois terços da área da superfície total do cilindro circular reto circunscrito a ela e que o volume da esfera é exatamente dois terços do volume do mesmo cilindro. O livro II inclui o problema de seccionar uma esfera com um plano de maneira a obter dois segmentos esféricos cujos volumes estejam numa razão dada. Esse problema leva a uma equação cúbica onde é feita uma discussão relativa às condições sob as quais a cúbica pode ter uma raiz real positiva.
Arquimedes escreveu pequenas obras sobre aritmética, uma delas é O contador de areia, que trata de uma curiosa questão: como determinar a quantidade de grãos de areia capaz de preencher uma esfera de centro na Terra e raio alcançando o Sol., ou seja, do tamanho do universo. Nesta obra encontramos observações relacionadas com astronomia, onde Arquimedes utilizou o modelo de universo de Aristarco de Samos, que antecipou a teoria heliocêntrica de Copérnico. Arquimedes vai calculando a quantidade de areia necessária para encher um dedal, um estádio, o volume da Terra e assim por diante, até encher todo o universo. Ao mesmo tempo e paralelamente, vai desenvolvendo um sistema de numeração (que levou a invenção dos logaritmos) capaz de exprimir os valores encontrados neste calculo. Há também o Problema do Gado que envolve oito incógnitas inteiras relacionadas por sete equações lineares e sujeitas ainda a duas condições adicionais a saber, que a soma de certo par de incógnitas um quadrado perfeito e que a soma de outro par determinado de incógnitas é um número triangular. Sem as condições adicionais, os menores valores das incógnitas são números da ordem de milhões; com essas condições, uma das incógnitas deve ser um número com mais que 206 500 dígitos!
Há dois trabalhos de Arquimedes sobre matemática aplicada: Sobre o Equilíbrio de Figuras Planas e Sobre os Corpos Flutuantes. O primeiro deles consta de dois livros e contém vinte e cinco proposições onde mediante um tratamento postulacional, obtêm-se as propriedades elementares dos centróides e se determinam centróides de várias áreas planas, terminando com a do segmento parabólico e a de uma área limitada por uma parábola e duas cordas paralelas. Sobre os Corpos Flutuantes é composto por dois livros com noventa proposições, e representa a primeira aplicação da matemática à hidrostática. O tratado baseia-se em dois postulados, desenvolvendo primeiro as leis familiares da hidrostática e depois considera alguns problemas muito mais difíceis, concluindo com um estudo notável sobre a posição de repouso e estabilidade de um segmento (reto) de parabolóide de revolução mergulhado num fluido.
O tratado O Método encontra-se na forma de uma carta endereçada a Eratóstenes e é importante devido às informações que fornece sobre o método que Arquimedes usava para descobrir muitos de seus teoremas. Arquimedes o usava de maneira experimental para descobrir resultados que ele então tratava de colocar em termos rigorosos mediante o método de exaustão.
Atribuem-se dois outros trabalhos perdidos a Arquimedes: Sobre o Calendário e Sobre a Construção de Esferas. Neste último havia a descrição de um planetário construído por ele para mostrar os movimentos do Sol, da Lua e dos cinco planetas conhecidos em seu tempo. Provavelmente o mecanismo era acionado pela água.
A invenção mecânica de Arquimedes mais conhecida é a bomba de água em parafuso, construída por ele para irrigar campos, drenar charcos e retirar água de porões da navios. O engenho ainda hoje é utilizado no Egito.

HISTÓRIAS DE ARQUIMIDES

Imagina-te a andar por uma rua, quando, de repente, sai a correr de uma casa um homem nu e molhado a gritar Eureka, Eureka! Isto aconteceu em Siracusa, uma colônia grega, há mais de 2200 anos atrás, e o nome do «maluco» em questão era Arquimedes. Na realidade, a descoberta fez dele um gênio. Foi julgado nos tribunais gregos como um arruaceiro, mas, após vários e longos debates, os juizes da cidade resolveram absolvê-lo, pois ele havia descoberto algo realmente importante.
Este Arquimedes tinha nascido em Siracusa, Sicília em 287 a.C., e foi educado em Alexandria, no Egito. Dedicou-se à Matemática desde sempre, mas mais especialmente aos estudos da Geometria.
Muito jovem começou a distinguir-se pelos seus trabalhos científicos. Quando regressou a Siracusa dedicou-se ao estudo da Geometria e da Mecânica, conseguindo descobrir princípios científicos e fazer aplicações que ainda hoje o tornam conhecido entre muitos.
Embora Arquimedes seja mais famoso pelo princípio da Hidrostática, talvez sejam mais notáveis as suas investigações sobre a quadratura do círculo, que vem a ser a descoberta da relação entre a circunferência e o seu diâmetro.
Na Hidrostática, o "Princípio de Arquimedes" deve ser considerado uma importante descoberta pois determinou grande adiantamento no estudo das ciências físicas que produziram felizes resultados. O seu princípio é hoje utilizado nas ciências naturais, Farmácia e no nosso quotidiano especialmente como tomamos banhos de imersão.
Podemos enunciar este Princípio em duas partes:

1- Todo o corpo submerso em qualquer líquido, desloca desse líquido uma quantidade determinada, cujo volume é exatamente igual ao volume do corpo submerso.
2- O corpo submerso no líquido "perde" de seu peso uma quantidade igual ao peso do volume de líquido igual ao volume submerso do corpo.

Arquimedes também inventou a balança, que tem seu nome, e foi o primeiro a determinar as leis do equilíbrio na balança.
De volta a Siracusa, dedicou toda a sua vida à pesquisa científica. Seu interesse cientifico foi herdado de seu pai que era um famoso astrônomo, Fídias. Isto influenciou, sem dúvida, na sua vocação e formação científica, sem contar que esteve em Alexandria, onde travou amizade com vários mestres alexandrinos.
As maiores contribuições de Arquimedes para a Matemática estão no âmbito da Geometria.
Seus métodos anteciparam o cálculo integral 2.000 anos antes de Newton e Leibniz.
Histórias de Plutarco, Lívio e outros descrevem máquinas inventadas por Arquimedes para a defesa de Siracusa. Entre estas se incluem a catapulta, a polia combinada e a parede de fogo.
Arquimedes provou, entre muitos outros resultados geométricos, que o volume de uma esfera é de dois terços do volume de um cilindro circunscrito. Ele considerava esta a sua descoberta mais significativa, pedindo ate mesmo que a representação do cilindro circunscrevendo uma esfera fosse gravada em sua tumba.
Na produção de Arquimedes revela-se exclusivamente o investigador. Seus escritos são verdadeiras memórias científicas, trabalhos originais, nos quais se dá por conhecido todo oproduzido antes sobre o tema e apresentam-se elementos novos, próprios.
As principais obras de Arquimedes foram sobre:

Os conóides e os esferóides. - Refere-se aos sólidos que hoje designamos elipsóide derevolução, parabolóide de revolução e hiperbolóide de revolução.
As espirais. - É um estudo monográfico de uma curva plana, hoje chamada espiral de Arquimedes, que se obtém por uma simples combinação de movimentos de rotação e translação. Entre os resultados, encontra-se um processo para retificar a circunferência.
A medida do círculo. - Contém apenas 3 proposições e é um dos trabalhos que melhor revela a mente matemática de Aristóteles. Em uma ostentação técnica combinam-se admiravelmente a matemática exata e a aproximada, a aritmética e a geometria, para impulsionar e encaminhar em nova direção o clássico problema da quadratura do círculo.
Quadratura da Parábola. - Este escrito oferece o primeiro exemplo de quadratura, isto é, de determinação de um polígono equivalente, de uma figura plana mistilínea: o segmento da parábola.
O Arenário. - Arquimedes realiza um estudo, no qual intercala um sistema de numeração próprio, que lhe permite calcular e, sobretudo exprimir quantidades enormes, e uma série de considerações astronômicas de grande importância histórica, pois nelas se alude ao sistema heliocêntrico da antiguidade, devido a Aristarco de Samos.
O equilíbrio dos planos. - É o primeiro tratado científico de estática. A alavanca, os centros de gravidade de alguns polígonos, entre outros resultados.
Dos corpos flutuantes. (Livro I e II). - As bases científicas da hidrostática.
Do método relativo aos teoremas mecânicos. - Arquimedes aproxima-se extraordinariamente de nosso conceitos atuais de cálculo integral.
O Stomachion. - É um jogo geométrico, espécie de puzzle, formado por uma série depeças poligonais que completam um retângulo.
O problema dos bois. - Um problema referente a teoria dos números

Seu fascínio pela Geometria é lindamente descrito por Plutarco.
Freqüentemente Arquimedes era levado ao banho contra sua vontade pelos seus servos, para lavá-lo e limpá-lo, e mesmo lá ele continuava desenhando figuras geométricas - mesmo entre as brasas das chaminés. E enquanto eles o estavam limpando e ungindo com óleos perfumados, ele desenhava linhas com o dedo sobre o óleo, completamente absorto, quase em estado de êxtase e transe, tal o prazer que tinha em estudar Geometria.
Arquimedes descobriu teoremas fundamentais relativos ao centro de gravidade das figuras planas e dos sólidos. Seu teorema mais famoso deduz o peso de um corpo imerso em um líquido, chamado de "Princípio de Arquimedes".
A habilidade de Arquimedes com a mecânica, aliada ao seu conhecimento teórico o habilitaram a construir muitas máquinas engenhosas. Ele passou muito tempo no Egito, onde inventou um dispositivo conhecido como "Parafuso de Arquimedes". É na verdade uma bomba, ainda usada em muitas partes do mundo.
Uma das histórias mais conhecidas a respeito de Arquimedes é a da "Coroa de ouro de Hieron", que vamos contar da seguinte maneira:
Entre o grande número de descobertas realizadas por Arquimedes, é necessário assinalar a seguinte:
Quando Hieron reinava em Siracusa, propôs oferecer, em um certo templo, uma coroa de ouro aos deuses imortais. Combinou a confecção da obra com um artesão mediante uma boa soma de dinheiro e a entrega da quantidade de ouro em peso. O artesão entregou a coroa na data combinada com o Rei, que a achou executada com perfeição, parecendo que contivesse todo o ouro que lhe havia sido entregue. Sabendo, porém, que o artesão retirara parte do ouro, substituindo-o por um peso equivalente em prata, o rei, indignado diante desse engodo e não tendo em mãos os meios para provar ao artesão sua fraude, encarregou a Arquimedes que se ocupasse da questão e que com sua inteligência encontrasse esses meios.
Um dia em que Arquimedes, preocupado com este assunto, entrou por acaso em uma casa de banhos, percebeu que à medida que entrava na banheira, a água transbordava da mesma.
Esta observação lhe fez descobrir a razão que procurava e, sem mais esperar, pela alegria que este fato lhe produzia, saiu do banho ainda nu e correndo para sua casa, gritava: Eureka! Eureka!, isto é, "encontrei! encontrei!".
Sobre a base desta descoberta, tomou, então, duas massas de igual peso que o da coroa: uma de ouro e outra de prata. Mergulhou depois a massa de prata em um vaso, o que fez sair uma quantidade de água igual ao volume dessa massa; tirou, então, a massa e voltou a encher o vaso com uma quantidade de água igual à que se derramara e que se preocupara em medir, de maneira que pode conhecer a quantidade de água que correspondia à massa de prata que introduzira no vaso.
Depois desta experiência, mergulhou igualmente a massa de ouro no vaso cheio de água e, depois de havê-lo retirado, mediu novamente a água transbordada, encontrando que a massa de ouro não deslocara tanta água como a de prata e que a diferença para menos era igual à diferença entre os volumes da massa de ouro e da massa de prata em igual peso.
Finalmente, voltou a encher o vaso, mergulhando desta vez a coroa, que deslocou mais água do que deslocara a massa de ouro de igual peso, porém menos que a massa de prata. Calculando, então, de acordo com estas experiências, em quanto a quantidade de água que a coroa desalojara era maior que aquela que deslocara a massa de ouro, soube quanta era a prata que fora misturada ao ouro, mostrando, assim, claramente, a fraude do artesão.
Ele foi morto durante a tomada de Siracusa pelos romanos na segunda Guerra Púnica. Plutarco descreveu assim o episódio de sua morte:

"Conforme quis o destino, Arquimedes estava imóvel trabalhando em algum problema num diagrama, e estando com a mente e os olhos fixos no objeto de sua especulação, ele não percebeu a entrada dos Romanos nem que a cidade estava sendo tomada. Estando ele assim absorvido pelo estudo, um soldado inesperadamente veio até ele e ordenou que o acompanhasse.
Ele negou-se a ir até que tivesse resolvido seu problema; o soldado então desembainhou a espada e o matou."

Fonte: www.eduquenet.net

Arquimedes

Este Arquimedes tinha nascido em Siracusa, Sicília em 287 a.C., e foi educado em Alexandria, no Egipto. Dedicou-se à Matemática desde sempre, mas mais especialmente aos estudos da Geometria.
Muito jovem começou a distinguir-se pelos seus trabalhos científicos.
Quando regressou a Siracusa dedicou-se ao estudo da Geometria e da Mecânica, conseguindo descobrir princípios e fazer aplicações que ainda hoje o tornam conhecido entre muitos.
Embora Arquimedes seja mais famoso pelo princípio da Hidrostática que traz seu nome de maluco, talvez sejam mais notáveis as suas investigações sobre a quadratura do círculo, que vem a ser a descoberta da relação entre a circunferência e o seu diâmetro.
Na Hidrostática, o "Princípio de Arquimedes" deve ser considerado uma importante descoberta pois determinou grande adiantamento no estudo das ciências físicas que produziram felizes resultados. O seu princípio é hoje utilizado nas ciências naturais, Farmácia e no nosso quotidiano especialmente como tomamos banhos de imersão.

1- Todo o corpo submerso em qualquer líquido, desloca desse líquido uma quantidade determinada, cujo volume é exatamente igual ao volume do corpo submerso.

2- O corpo submerso no líquido "perde" de seu peso uma quantidade igual ao peso do volume de líquido igual ao volume submerso do corpo.
Arquimedes também inventou a balança, que tem seu nome, e foi o primeiro a determinar as leis do equilíbrio na balança.

Este Arquimedes tinha nascido em Siracusa, Sicília em 287 a.C., e foi educado em Alexandria, no Egipto. Dedicou-se à Matemática desde sempre, mas mais especialmente aos estudos da Geometria.
Muito jovem começou a distinguir-se pelos seus trabalhos científicos.
Quando regressou a Siracusa dedicou-se ao estudo da Geometria e da Mecânica, conseguindo descobrir princípios e fazer aplicações que ainda hoje o tornam conhecido entre muitos.
Embora Arquimedes seja mais famoso pelo princípio da Hidrostática que traz seu nome de maluco, talvez sejam mais notáveis as suas investigações sobre a quadratura do círculo, que vem a ser a descoberta da relação entre a circunferência e o seu diâmetro.
Na Hidrostática, o "Princípio de Arquimedes" deve ser considerado uma importante descoberta pois determinou grande adiantamento no estudo das ciências físicas que produziram felizes resultados. O seu princípio é hoje utilizado nas ciências naturais, Farmácia e no nosso quotidiano especialmente como tomamos banhos de imersão.
2- O corpo submerso no líquido "perde" de seu peso uma quantidade igual ao peso do volume de líquido igual ao volume submerso do corpo.
Uma das histórias mais conhecidas a respeito de Arquimedes é a da "Coroa de ouro de Hieron", que vamos contar da seguinte maneira: Entre o grande número de descobertas realizadas por Arquimedes, é necessário assinalar a seguinte: Quando Hieron reinava em Siracusa, propôs oferecer, em um certo templo, uma coroa de ouro aos deuses imortais. Combinou a confecção da obra com um artesão mediante uma boa soma de dinheiro e a entrega da quantidade de ouro em peso. O artesão entregou a coroa na data combinada com o Rei, que a achou executada com perfeição, parecendo que contivesse todo o ouro que lhe havia sido entregue. Sabendo, porém, que o artesão retirara parte do ouro, substituindo-o por um peso equivalente em prata, o rei, indignado diante desse engodo e não tendo em mãos os meios para provar ao artesão sua fraude, encarregou a Arquimedes que se ocupasse da questão e que com sua inteligência encontrasse esses meios. Um dia em que Arquimedes, preocupado com este assunto, entrou por acaso em uma casa de banhos, percebeu que à medida que entrava na banheira, a água transbordava da mesma.

HISTÓRIAS DE ARQUIMIDES

Imagina-te a andar por uma rua, quando, de repente, sai a correr de uma casa um homem nu e molhado a gritar Eureka, Eureka! Isto aconteceu em Siracusa, uma colônia grega, há mais de 2200 anos atrás, e o nome do «maluco» em questão era Arquimedes. Na realidade, a descoberta fez dele um gênio. Foi julgado nos tribunais gregos como um arruaceiro, mas, após vários e longos debates, os juizes da cidade resolveram absolvê-lo, pois ele havia descoberto algo realmente importante.
Este Arquimedes tinha nascido em Siracusa, Sicília em 287 a.C., e foi educado em Alexandria, no Egito. Dedicou-se à Matemática desde sempre, mas mais especialmente aos estudos da Geometria.
Muito jovem começou a distinguir-se pelos seus trabalhos científicos. Quando regressou a Siracusa dedicou-se ao estudo da Geometria e da Mecânica, conseguindo descobrir princípios científicos e fazer aplicações que ainda hoje o tornam conhecido entre muitos.
Embora Arquimedes seja mais famoso pelo princípio da Hidrostática, talvez sejam mais notáveis as suas investigações sobre a quadratura do círculo, que vem a ser a descoberta da relação entre a circunferência e o seu diâmetro.
Na Hidrostática, o "Princípio de Arquimedes" deve ser considerado uma importante descoberta pois determinou grande adiantamento no estudo das ciências físicas que produziram felizes resultados. O seu princípio é hoje utilizado nas ciências naturais, Farmácia e no nosso quotidiano especialmente como tomamos banhos de imersão.
Podemos enunciar este Princípio em duas partes:

1- Todo o corpo submerso em qualquer líquido, desloca desse líquido uma quantidade determinada, cujo volume é exatamente igual ao volume do corpo submerso.
2- O corpo submerso no líquido "perde" de seu peso uma quantidade igual ao peso do volume de líquido igual ao volume submerso do corpo.

Arquimedes também inventou a balança, que tem seu nome, e foi o primeiro a determinar as leis do equilíbrio na balança.
De volta a Siracusa, dedicou toda a sua vida à pesquisa científica. Seu interesse cientifico foi herdado de seu pai que era um famoso astrônomo, Fídias. Isto influenciou, sem dúvida, na sua vocação e formação científica, sem contar que esteve em Alexandria, onde travou amizade com vários mestres alexandrinos.
As maiores contribuições de Arquimedes para a Matemática estão no âmbito da Geometria.
Seus métodos anteciparam o cálculo integral 2.000 anos antes de Newton e Leibniz.
Histórias de Plutarco, Lívio e outros descrevem máquinas inventadas por Arquimedes para a defesa de Siracusa. Entre estas se incluem a catapulta, a polia combinada e a parede de fogo.
Arquimedes provou, entre muitos outros resultados geométricos, que o volume de uma esfera é de dois terços do volume de um cilindro circunscrito. Ele considerava esta a sua descoberta mais significativa, pedindo ate mesmo que a representação do cilindro circunscrevendo uma esfera fosse gravada em sua tumba.
Na produção de Arquimedes revela-se exclusivamente o investigador. Seus escritos são verdadeiras memórias científicas, trabalhos originais, nos quais se dá por conhecido todo oproduzido antes sobre o tema e apresentam-se elementos novos, próprios.
As principais obras de Arquimedes foram sobre:

Os conóides e os esferóides. - Refere-se aos sólidos que hoje designamos elipsóide derevolução, parabolóide de revolução e hiperbolóide de revolução.
As espirais. - É um estudo monográfico de uma curva plana, hoje chamada espiral de Arquimedes, que se obtém por uma simples combinação de movimentos de rotação e translação. Entre os resultados, encontra-se um processo para retificar a circunferência.
A medida do círculo. - Contém apenas 3 proposições e é um dos trabalhos que melhor revela a mente matemática de Aristóteles. Em uma ostentação técnica combinam-se admiravelmente a matemática exata e a aproximada, a aritmética e a geometria, para impulsionar e encaminhar em nova direção o clássico problema da quadratura do círculo.
Quadratura da Parábola. - Este escrito oferece o primeiro exemplo de quadratura, isto é, de determinação de um polígono equivalente, de uma figura plana mistilínea: o segmento da parábola.
O Arenário. - Arquimedes realiza um estudo, no qual intercala um sistema de numeração próprio, que lhe permite calcular e, sobretudo exprimir quantidades enormes, e uma série de considerações astronômicas de grande importância histórica, pois nelas se alude ao sistema heliocêntrico da antiguidade, devido a Aristarco de Samos.
O equilíbrio dos planos. - É o primeiro tratado científico de estática. A alavanca, os centros de gravidade de alguns polígonos, entre outros resultados.
Dos corpos flutuantes. (Livro I e II). - As bases científicas da hidrostática.
Do método relativo aos teoremas mecânicos. - Arquimedes aproxima-se extraordinariamente de nosso conceitos atuais de cálculo integral.
O Stomachion. - É um jogo geométrico, espécie de puzzle, formado por uma série depeças poligonais que completam um retângulo.
O problema dos bois. - Um problema referente a teoria dos números

Seu fascínio pela Geometria é lindamente descrito por Plutarco.
Freqüentemente Arquimedes era levado ao banho contra sua vontade pelos seus servos, para lavá-lo e limpá-lo, e mesmo lá ele continuava desenhando figuras geométricas - mesmo entre as brasas das chaminés. E enquanto eles o estavam limpando e ungindo com óleos perfumados, ele desenhava linhas com o dedo sobre o óleo, completamente absorto, quase em estado de êxtase e transe, tal o prazer que tinha em estudar Geometria.
Arquimedes descobriu teoremas fundamentais relativos ao centro de gravidade das figuras planas e dos sólidos. Seu teorema mais famoso deduz o peso de um corpo imerso em um líquido, chamado de "Princípio de Arquimedes".
A habilidade de Arquimedes com a mecânica, aliada ao seu conhecimento teórico o habilitaram a construir muitas máquinas engenhosas. Ele passou muito tempo no Egito, onde inventou um dispositivo conhecido como "Parafuso de Arquimedes". É na verdade uma bomba, ainda usada em muitas partes do mundo.
Uma das histórias mais conhecidas a respeito de Arquimedes é a da "Coroa de ouro de Hieron", que vamos contar da seguinte maneira:
Entre o grande número de descobertas realizadas por Arquimedes, é necessário assinalar a seguinte:
Quando Hieron reinava em Siracusa, propôs oferecer, em um certo templo, uma coroa de ouro aos deuses imortais. Combinou a confecção da obra com um artesão mediante uma boa soma de dinheiro e a entrega da quantidade de ouro em peso. O artesão entregou a coroa na data combinada com o Rei, que a achou executada com perfeição, parecendo que contivesse todo o ouro que lhe havia sido entregue. Sabendo, porém, que o artesão retirara parte do ouro, substituindo-o por um peso equivalente em prata, o rei, indignado diante desse engodo e não tendo em mãos os meios para provar ao artesão sua fraude, encarregou a Arquimedes que se ocupasse da questão e que com sua inteligência encontrasse esses meios.
Um dia em que Arquimedes, preocupado com este assunto, entrou por acaso em uma casa de banhos, percebeu que à medida que entrava na banheira, a água transbordava da mesma.
Esta observação lhe fez descobrir a razão que procurava e, sem mais esperar, pela alegria que este fato lhe produzia, saiu do banho ainda nu e correndo para sua casa, gritava: Eureka! Eureka!, isto é, "encontrei! encontrei!".
Sobre a base desta descoberta, tomou, então, duas massas de igual peso que o da coroa: uma de ouro e outra de prata. Mergulhou depois a massa de prata em um vaso, o que fez sair uma quantidade de água igual ao volume dessa massa; tirou, então, a massa e voltou a encher o vaso com uma quantidade de água igual à que se derramara e que se preocupara em medir, de maneira que pode conhecer a quantidade de água que correspondia à massa de prata que introduzira no vaso.
Depois desta experiência, mergulhou igualmente a massa de ouro no vaso cheio de água e, depois de havê-lo retirado, mediu novamente a água transbordada, encontrando que a massa de ouro não deslocara tanta água como a de prata e que a diferença para menos era igual à diferença entre os volumes da massa de ouro e da massa de prata em igual peso.
Finalmente, voltou a encher o vaso, mergulhando desta vez a coroa, que deslocou mais água do que deslocara a massa de ouro de igual peso, porém menos que a massa de prata. Calculando, então, de acordo com estas experiências, em quanto a quantidade de água que a coroa desalojara era maior que aquela que deslocara a massa de ouro, soube quanta era a prata que fora misturada ao ouro, mostrando, assim, claramente, a fraude do artesão.
Ele foi morto durante a tomada de Siracusa pelos romanos na segunda Guerra Púnica. Plutarco descreveu assim o episódio de sua morte:

"Conforme quis o destino, Arquimedes estava imóvel trabalhando em algum problema num diagrama, e estando com a mente e os olhos fixos no objeto de sua especulação, ele não percebeu a entrada dos Romanos nem que a cidade estava sendo tomada. Estando ele assim absorvido pelo estudo, um soldado inesperadamente veio até ele e ordenou que o acompanhasse.
Ele negou-se a ir até que tivesse resolvido seu problema; o soldado então desembainhou a espada e o matou."

Fonte: www.eduquenet.net

Arquimedes

Este Arquimedes tinha nascido em Siracusa, Sicília em 287 a.C., e foi educado em Alexandria, no Egipto. Dedicou-se à Matemática desde sempre, mas mais especialmente aos estudos da Geometria.
Muito jovem começou a distinguir-se pelos seus trabalhos científicos.
Quando regressou a Siracusa dedicou-se ao estudo da Geometria e da Mecânica, conseguindo descobrir princípios e fazer aplicações que ainda hoje o tornam conhecido entre muitos.
Embora Arquimedes seja mais famoso pelo princípio da Hidrostática que traz seu nome de maluco, talvez sejam mais notáveis as suas investigações sobre a quadratura do círculo, que vem a ser a descoberta da relação entre a circunferência e o seu diâmetro.
Na Hidrostática, o "Princípio de Arquimedes" deve ser considerado uma importante descoberta pois determinou grande adiantamento no estudo das ciências físicas que produziram felizes resultados. O seu princípio é hoje utilizado nas ciências naturais, Farmácia e no nosso quotidiano especialmente como tomamos banhos de imersão.

1- Todo o corpo submerso em qualquer líquido, desloca desse líquido uma quantidade determinada, cujo volume é exatamente igual ao volume do corpo submerso.

2- O corpo submerso no líquido "perde" de seu peso uma quantidade igual ao peso do volume de líquido igual ao volume submerso do corpo.
Arquimedes também inventou a balança, que tem seu nome, e foi o primeiro a determinar as leis do equilíbrio na balança.

Este Arquimedes tinha nascido em Siracusa, Sicília em 287 a.C., e foi educado em Alexandria, no Egipto. Dedicou-se à Matemática desde sempre, mas mais especialmente aos estudos da Geometria.
Muito jovem começou a distinguir-se pelos seus trabalhos científicos.
Quando regressou a Siracusa dedicou-se ao estudo da Geometria e da Mecânica, conseguindo descobrir princípios e fazer aplicações que ainda hoje o tornam conhecido entre muitos.
Embora Arquimedes seja mais famoso pelo princípio da Hidrostática que traz seu nome de maluco, talvez sejam mais notáveis as suas investigações sobre a quadratura do círculo, que vem a ser a descoberta da relação entre a circunferência e o seu diâmetro.
Na Hidrostática, o "Princípio de Arquimedes" deve ser considerado uma importante descoberta pois determinou grande adiantamento no estudo das ciências físicas que produziram felizes resultados. O seu princípio é hoje utilizado nas ciências naturais, Farmácia e no nosso quotidiano especialmente como tomamos banhos de imersão.
2- O corpo submerso no líquido "perde" de seu peso uma quantidade igual ao peso do volume de líquido igual ao volume submerso do corpo.
Uma das histórias mais conhecidas a respeito de Arquimedes é a da "Coroa de ouro de Hieron", que vamos contar da seguinte maneira: Entre o grande número de descobertas realizadas por Arquimedes, é necessário assinalar a seguinte: Quando Hieron reinava em Siracusa, propôs oferecer, em um certo templo, uma coroa de ouro aos deuses imortais. Combinou a confecção da obra com um artesão mediante uma boa soma de dinheiro e a entrega da quantidade de ouro em peso. O artesão entregou a coroa na data combinada com o Rei, que a achou executada com perfeição, parecendo que contivesse todo o ouro que lhe havia sido entregue. Sabendo, porém, que o artesão retirara parte do ouro, substituindo-o por um peso equivalente em prata, o rei, indignado diante desse engodo e não tendo em mãos os meios para provar ao artesão sua fraude, encarregou a Arquimedes que se ocupasse da questão e que com sua inteligência encontrasse esses meios. Um dia em que Arquimedes, preocupado com este assunto, entrou por acaso em uma casa de banhos, percebeu que à medida que entrava na banheira, a água transbordava da mesma.
Sua descoberta mais famosa em Física foi a chamada "lei do empuxo", que explica porque um corpo pode flutuar em um fluido. Diz a lenda, provavelmente exagerada, que Arquimedes descobriu essa lei durante o banho e ficou tão excitado com a descoberta que saiu nú pelas ruas gritando "Eureka", isto é, "achei"! Em Siracusa, dedicou-se com afinco ao estudo da Matemática e demonstrou vários teoremas de enorme importância. Quando os romanos, sob o comando de Marcelo, sitiaram Siracusa, depararam-se com uma barreira intransponível de máquinas bélicas inventadas por Arquimedes e a tomada da cidade foi, desse modo impedida por vários anos. Até que em 212 a.C., conseguiram penetrar na cidade aproveitando um período de festas durante o qual a defesa foi relaxada. Apesar da recomendação de Marcelo para que a vida do grande cientista fosse poupada, pois passara a admirar o engenhoso inimigo, Arquimedes foi morto por um soldado ao se recusar a interromper uma demonstração matemática na qual estava concentrado.
Em seu túmulo foi gravado um cilindro circunscrito a uma esfera, para lembrar um dos resultados de que mais se orgulhava: o cálculo da área de uma superfície esférica.

EMPUXO

PRINCÍPIO DE Arquimedes

E = Pfd = mfd . g = df . Vfd . g

E = df . Vfd . g
onde df = densidade do fluido e Vfd = volume do fluido deslocado.
Obs.: O valor do empuxo não depende da densidade do corpo imerso no fluido; a densidade do corpo (dc) é importante para se saber se o corpo afunda ou não no fluido.

dc < df => O corpo pode flutuar na superfície do fluido (no caso de líquido).

dc = df => O corpo fica em equilíbrio no interior do fluido (com o corpo total mente imerso).

dc > df => O corpo afunda no fluido.

O empuxo é uma força que resulta da diferença de pressão existente entre pontos de diferentes níveis no interior de um fluido.

No caso particular de um corpo (como mostra a figura), de secção transversal de área (A) constante, como um cilindro por exemplo é determinado por:
E = (p2 – p1) . A
E = delta p . A

ou pois, pelo Teorema de Stevin,
delta p = df . g . delta h e E = df . g . delta h. A ou,

como Vfd = delta h . A, E = df . Vfd . g
Obs.: As forças laterais-horizontais diametralmente opostas, anulam-se duas a duas.

Portanto, a resultante horizontal das forças exercidas pelo fluido é nula.
Unidades principais:

	E	d	V	g	p	A
No SI	N	Kg/m3	m3	m/s2	N/m2	m2
No CGS	dyn	g/cm3	cm3	cm/s2	dyn/cm2	cm2
No MK*S	Kgf	utm/m3	m3	m/s2	kgf/m2	m2

PESO APARENTE

Quando um corpo é totalmente imerso num fluido de densidade menor do que a sua, o peso tem intensidade maior do que a do empuxo. A resultante dessas forças é denominada peso aparente (Pap):
dc > df => P > E

e Pap = P – E

O peso aparente também pode ser medido de um dinamômetro.
CORPOS EM EQUILÍBRIO

Um corpo na superfície de um líquido, quando abandonado, se a densidade do corpo for menor do que a do líquido. Na posição de equilíbrio, o empuxo e o peso devem ter a mesma intensidade, em valor absoluto:
E = P ou df . Vfd . g = dc . Vc . g

Logo: df . Vi = dc . Vc

Volume do corpo (Vc):

Vc = Ve + Vi
Obs.: Lembre-se de que dc . Vc = mc; portanto: df . Vi = mc

Atenção: Neste caso, o empuxo exercido pelo ar é desprezível.

Caso o corpo esteja em equilíbrio entre vários líquidos, tem-se:
E1 + E2 + En = P

ou (:g)

d1 . V1 + d2 . V2 + dn . Vn = dc . Vc